题目内容
6．已知M是△ABC内一点，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}，∠BAC={30°}$，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为$\frac{1}{2}，x，y$，则xy的最大值是（ ）| A． | $\frac{1}{14}$ | B． | $\frac{1}{16}$ | C． | $\frac{1}{18}$ | D． | $\frac{1}{20}$ |
分析 根据条件可得到$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$，从而可求出三角形ABC的面积为$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin30°=1$，从而可得到$x+y=\frac{1}{2}$，根据基本不等式即可求出xy的最大值．
解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos30°=2\sqrt{3}$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=4$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sin30°=1=\frac{1}{2}+x+y$；
∴$x+y=\frac{1}{2}$；
x＞0，y＞0，∴$\frac{1}{2}=x+y≥2\sqrt{xy}$；
∴$xy≤\frac{1}{16}$，当$x=y=\frac{1}{4}$时取“=”．
故选：B．
点评 考查数量积的计算公式，三角形的面积公式，以及基本不等式求最值．
练习册系列答案
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17．
已知二面角α-l-β为锐角，A∈a，A到平面β的距离AH=2$\sqrt{3}$，点A到棱的距离为AB=4，则二面角α-l-β的大小为（ ）
已知二面角α-l-β为锐角，A∈a，A到平面β的距离AH=2$\sqrt{3}$，点A到棱的距离为AB=4，则二面角α-l-β的大小为（ ）| A． | 15° | B． | 50° | C． | 60° | D． | 45° |
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