Question

15．设函数f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=log_a（x+k）的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由函数f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，0＜a＜1，由此不难判断函数的图象．

解答 解：∵函数f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上是奇函数
则f（-x）+f（x）=0
即（k-1）（a^x-a^-x）=0
则k=1
又∵f（x）=a^x-ka^-x（a＞0且a≠1）在（-∞，+∞）上是减函数
则0＜a＜1，
则g（x）=log_a（x+k）=log_a（x+1）
函数图象必过原点，且为减函数
故选：D．

点评 若函数在其定义域为为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（-x）-f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数-减函数=增函数也是解决本题的关键