Question

【题目】已知定圆，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.

（I）求轨迹的方程；

（Ⅱ）若与轴不重合的直线过点，且与轨迹交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（I）因为点在圆内，所以圆内切于圆，因为，所以点的轨迹为以和为焦点的椭圆，……3分

且，，，所以，所以轨迹的方程为．……5分

（Ⅱ）设直线的方程为．

由得，…………………………6分

设、，所以，，

根据题意，假设轴上存在定点，

使得为定值．…………8分

则

，

要使上式为定值，即与无关，则，…………10分

解得，此时，

所以在轴上存在定点，使得为定值，且定值为．……12分

【命题意图】本题考查圆与圆的位置关系、轨迹方程、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题、解决问题的能力．