题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的倾斜角;
(2)设点,
和
交于
两点,求
.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)曲线C的参数方程为(α为参数),利用平方关系可得曲线C的普通方程.由直线l的极坐标方程为
,展开化为:ρsinθ+ρcosθ=2,利用互化公式可得:直线l的普通方程,利用斜率与倾斜角的关系即可得出.
(2)显然点在直线l
上.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是
为参数).将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得到关于t的一元二次方程,此方程的两根为直线l与曲线C的交点A,B对应的参数tA,tB,利用|PA|+|PB|=|tA|+|tB|即可得出.
试题解析:
(Ⅰ)由消去参数α,得
,
即C的普通方程为.
由,得ρsinθ+ρcosθ=2,…(*)
将代入(*),化简得
,
所以直线l的倾斜角为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为为参数),即
为参数),代入
并化简,得
.
.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则,所以t1<0,t2<0,
所以=
.
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