题目内容
【题目】已知函数f(x)=x3﹣3x.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=k有3个实根,求实数k的取值范围.
【答案】(I)当x=﹣1时,有极大值f(﹣1)=2;当x=1时,有极小值f(1)=﹣2(II)(﹣2,2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(Ⅱ)问题转化为和
有3个交点,根据f(x)的极大值和极小值求出k的范围即可.
试题解析:
(I)∵,∴
,
令,解得
或
,列表如下:
x | (﹣∞,﹣1) | ﹣1 | (﹣1,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
当x=﹣1时,有极大值f(﹣1)=2;
当x=1时,有极小值f(1)=﹣2.
(II)要有3个实根,
由(I)知: ,
即,
∴k的取值范围是(﹣2,2).
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