题目内容

【题目】已知函数f(x)=x3﹣3x.

(Ⅰ)求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=k有3个实根,求实数k的取值范围.

【答案】(I)当x=﹣1时,有极大值f(﹣1)=2;当x=1时,有极小值f(1)=﹣2(II)(﹣2,2)

【解析】试题分析:Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(Ⅱ)问题转化为3个交点,根据f(x)的极大值和极小值求出k的范围即可.

试题解析:

(I)∵,∴

,解得,列表如下:

x

(﹣∞,﹣1)

﹣1

(﹣1,1)

1

(1,+∞)

f′(x)

+

0

0

+

f(x)

极大值

极小值

当x=﹣1时,有极大值f(﹣1)=2;

当x=1时,有极小值f(1)=﹣2.

(II)要有3个实根,

由(I)知:

∴k的取值范围是(﹣2,2).

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