题目内容
【题目】已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
求椭圆的标准方程；
设直线l经过点
且与椭圆C交于不同的两点M，N试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
由椭圆C：
的离心率为
，且过点
，列方程给，求出
，
，由此能求出椭圆的标准方程；
假设存在满足条件的点
，设直线l的方程为
，由
，得
，由此利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出在x轴上存在点
，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．
椭圆C：
的离心率为，且过点
．
，解得
，
，
椭圆的标准方程为．
假设存在满足条件的点
，
当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，
直线l的斜率k存在，设直线l的方程为
，
由
，得
，
设
，
，
则
，
，
，
要使对任意实数k，
为定值，则只有
，
此时，
，
在x轴上存在点，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1．
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