题目内容
【题目】已知椭圆C:的离心率为
,且过点
.
求椭圆的标准方程;
设直线l经过点
且与椭圆C交于不同的两点M,N试问:在x轴上是否存在点Q,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值?若存在,求出点Q的坐标及定值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
由椭圆C:
的离心率为
,且过点
,列方程给,求出
,
,由此能求出椭圆的标准方程;
假设存在满足条件的点
,设直线l的方程为
,由
,得
,由此利用韦达定理、直线的斜率,结合已知条件能求出在x轴上存在点
,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.
椭圆C:
的离心率为
,且过点
.
,解得
,
,
椭圆的标准方程为
.
假设存在满足条件的点
,
当直线l与x轴垂直时,它与椭圆只有一个交点,不满足题意,
直线l的斜率k存在,设直线l的方程为
,
由,得
,
设,
,
则,
,
,
要使对任意实数k,为定值,则只有
,
此时,,
在x轴上存在点
,使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.
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