Question

【题目】已知函数f(x)＝2ax－x2－3ln x，其中a∈R，为常数．

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）(－∞，3]．（2）－3ln 3

【解析】

试题（1）由题意得导函数在[1，＋∞)上非正，利用参变分离将不等式恒成立转化为对应函数最值： 最小值，根据基本不等式求最小值，即得实数a的取值范围；（2）根据极值定义可得f′(3)＝0，解得a，再利用导数求函数最值.

试题解析：解：f′(x)＝2a－3x－＝.

(1)由题意知f′(x)≤0对x∈[1，＋∞)恒成立，

即≤0，

又x>0，所以－3x2＋2ax－3≤0恒成立，

即3≥2a恒成立，6≥2a，

所以a≤3.∴a的取值范围为(－∞，3]．

(2)依题意f′(3)＝0，

即＝0，

解得a＝5，

此时f′(x)＝

＝－，

易知x∈[1,3]时f′(x)≥0，原函数递增，x∈[3,5]时，f′(x)≤0，原函数递减，

所以最大值为f(3)＝－3ln 3.