Question

13．如果正数x，y满足x•y^1+lgx=1，则xy的取值范围是（0，10^-4]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 先两边取对数，得到lgy=-$\frac{lgx}{1+lgx}$，再令lgx=t，lg（xy）=lgx+lgy=$\frac{{t}^{2}}{1+t}$，再构造关于t的方程t²-st-s=0有实数解，求出lg（xy）的范围，继而求出xy的范围．

解答 解∵正数x，y满足x•y^1+lgx=1，
两边取对数得，lgx+（1+lgx）lgy=0．
即lgy=-$\frac{lgx}{1+lgx}$，（x≠$\frac{1}{10}$，lgx≠-1），
令lgx=t，则lgy=-$\frac{t}{1+t}$（t≠-1）．，
∴lg（xy）=lgx+lgy=t-$\frac{t}{1+t}$=$\frac{{t}^{2}}{1+t}$，
设s=$\frac{{t}^{2}}{1+t}$，
得到关于t的方程t²-st-s=0有实数解，
∴△=s²+4s≥0，解得s≤-4或s≥0，
∴lg（xy）≤-4=lg10^-4，lg（xy）≥0=lg1，
∴0＜xy≤10^-4，xy≥1，
故xy的取值范围是（0，10^-4]∪[1，+∞）．
故答案为：（0，10^-4]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了对数的运算性质，以及函数的值域的求法，本题的关键是构造关于t的方程t²-st-s=0有实数解，属于中档题．