Question

5．已知在面积为3的△ABC所在的平面内有一点O满足丨$\overrightarrow{OB}$丨=2，且$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=0，若△OAB与△OBC的面积分别为S₁，S₂，则$\overrightarrow{OB}$•（S₁$\overrightarrow{BC}$+S₂$\overrightarrow{BA}$）=-12．

Answer 1

分析 由已知，结合向量的基本运算可求得$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{OC}$，从而可得AB∥OC，AB=3OC，可得，S₁=S_△OAB=S_△ABC，
S₂=S_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△OAB，代入到所求式子即可求解

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{OC}$，
∴AB∥OC，AB=3OC，如图所示：
由题意可得，S₁=S_△OAB=S_△ABC=3，
由于点A到直线OB的距离等于点C到直线OB的距离的3倍，
∴S₂=S_△OBC=$\frac{1}{3}$S_△OAB=1，
则$\overrightarrow{OB}$•（S₁$\overrightarrow{BC}$+S₂$\overrightarrow{BA}$）=$\overrightarrow{OB}$•（3$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$）=3$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{BA}$
=3$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BC}$-3$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=3（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CO}$）$•\overrightarrow{OB}$=-3${\overrightarrow{OB}}^{2}$=-12
故答案为：-12

点评 本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，求解的关键是准确求出已知图象的面积．