题目内容

5.已知在面积为3的△ABC所在的平面内有一点O满足丨$\overrightarrow{OB}$丨=2,且$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=0,若△OAB与△OBC的面积分别为S1,S2,则$\overrightarrow{OB}$•(S1$\overrightarrow{BC}$+S2$\overrightarrow{BA}$)=-12.

分析 由已知,结合向量的基本运算可求得$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{OC}$,从而可得AB∥OC,AB=3OC,可得,S1=S△OAB=S△ABC
S2=S△OBC=$\frac{1}{3}$S△OAB,代入到所求式子即可求解

解答 解:∵$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$,即$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{OC}$,
∴AB∥OC,AB=3OC,如图所示:
由题意可得,S1=S△OAB=S△ABC=3,
由于点A到直线OB的距离等于点C到直线OB的距离的3倍,
∴S2=S△OBC=$\frac{1}{3}$S△OAB=1,
则$\overrightarrow{OB}$•(S1$\overrightarrow{BC}$+S2$\overrightarrow{BA}$)=$\overrightarrow{OB}$•(3$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$)=3$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{BA}$
=3$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BC}$-3$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=3($\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CO}$)$•\overrightarrow{OB}$=-3${\overrightarrow{OB}}^{2}$=-12
故答案为:-12

点评 本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算,求解的关键是准确求出已知图象的面积.

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