题目内容

14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的菱形,且∠BAD=60°,
(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若PA=$\sqrt{3}$,求三棱锥C-PBD的高.

分析 (Ⅰ)底面ABCD是边长为1的菱形,可得AC⊥BD,利用PA⊥平面ABCD,可得PA⊥BD,即可证明BD⊥平面PAC,进而证明平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)求出三棱锥P-BCD的体积,利用等体积,求三棱锥C-PBD的高.

解答 (Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.…(1分)
又∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴PA⊥BD.…(3分)
∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC…(4分)
∵BD?平面PBD,
∴平面PBD⊥平面PAC…(6分)
(Ⅱ)解:由$PA=\sqrt{3}$易得PB=PD=2,
∵ABCD是边长为1的菱形,且∠BAD=60°∴BD=1…(7分)
连PO,求得$PO=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$…(8分)
∴${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}×BD×PO=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{15}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$…(9分)
三棱锥P-BCD的体积${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}×{S_{△BCD}}×PA=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{1}{4}$…(10分)
设三棱锥C-PBD的高为h
则${V_{C-PBD}}={V_{P-BCD}}=\frac{1}{4}$,于是$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}×h=\frac{1}{4}$…(11分)
∴$h=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…(12分)

点评 本题考查了菱形的性质、线面垂直与面面垂直的判定性质定理、三棱锥的体积计算公式,考查了了推理能力与计算能力,属于中档题.

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