Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠BAD=60°，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=$\sqrt{3}$，求三棱锥C-PBD的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）底面ABCD是边长为1的菱形，可得AC⊥BD，利用PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD，即可证明BD⊥平面PAC，进而证明平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）求出三棱锥P-BCD的体积，利用等体积，求三棱锥C-PBD的高．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．…（1分）
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．…（3分）
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC…（4分）
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）解：由$PA=\sqrt{3}$易得PB=PD=2，
∵ABCD是边长为1的菱形，且∠BAD=60°∴BD=1…（7分）
连PO，求得$PO=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$…（8分）
∴${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}×BD×PO=\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{15}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$…（9分）
三棱锥P-BCD的体积${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}×{S_{△BCD}}×PA=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×\sqrt{3}=\frac{1}{4}$…（10分）
设三棱锥C-PBD的高为h
则${V_{C-PBD}}={V_{P-BCD}}=\frac{1}{4}$，于是$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}×h=\frac{1}{4}$…（11分）
∴$h=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查了菱形的性质、线面垂直与面面垂直的判定性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．