Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

（1）将圆C配方得（x+1）²+（y-2）²=2．
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y-a=0，
由

|-1+2-a|

2

=

2

，得|a-1|=2，即a=-1，或a=3．
∴直线方程为x+y+1=0，或x+y-3=0；…（6分）
（2）由于|PC|²=|PM|²+|CM|²=|PM|²+r²，
∴|PM|²=|PC|²-r²．
又∵|PM|=|PO|，
∴|PC|²-r²=|PO|²，
∴（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²．
∴2x-4y+3=0即为所求．…（12分）