题目内容
已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x,且过点D(
,
).l1,l2是过点P(-
,0)的两条互相垂直的直线,且l1,l2与双曲线各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2.
(1)求双曲线的方程;
(2)求l1斜率的范围
(3)若|A1B1|=
|A2B2|,求l1的方程.
2 |
3 |
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(1)求双曲线的方程;
(2)求l1斜率的范围
(3)若|A1B1|=
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(1)依题意可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0)
将点D(
,
)坐标代入得2-3=λ⇒λ=-1
故所求双曲线方程为y2-x2=1.
(2)由题意l1,l2都存在非零斜率,否则l1,l2与曲线不都相交.
设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+
)).
由
消去y得(k2-1)x2+2
k2x+2k2-1=0(*)
依题意方程(*)有两个不等实根
.
又两直线垂直,则l2的方程为y=-
(x+
),
完全类似地有
>
且
≠1,
∴
<k2<1且k2≠1.
从而k∈(-
,-
)∪(
,
)且k≠±1.
(3)由(2)得|A1B1|=
.
完全类似地有|A2B2|=
.
∵|A1B1|=
|A2B2|,∴
=
,
化为k2=2.
解得k=±
.
从而求l1的方程y=
(x+
)或y=-
(x+
).
将点D(
2 |
3 |
故所求双曲线方程为y2-x2=1.
(2)由题意l1,l2都存在非零斜率,否则l1,l2与曲线不都相交.
设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+
2 |
由
|
2 |
依题意方程(*)有两个不等实根
|
又两直线垂直,则l2的方程为y=-
1 |
k |
2 |
完全类似地有
1 | ||
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1 |
3 |
1 | ||
|
∴
1 |
3 |
从而k∈(-
3 |
| ||
3 |
| ||
3 |
3 |
(3)由(2)得|A1B1|=
1+k2 |
|
完全类似地有|A2B2|=
1+
|
|
∵|A1B1|=
5 |
1+k2 |
|
5 |
1+
|
|
化为k2=2.
解得k=±
2 |
从而求l1的方程y=
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