题目内容

已知双曲线的两条渐近线方程是y=x和y=-x,且过点D(
2
3
)
.l1,l2是过点P(-
2
,0)
的两条互相垂直的直线,且l1,l2与双曲线各有两个交点,分别为A1,B1和A2,B2
(1)求双曲线的方程;
(2)求l1斜率的范围
(3)若|A1B1|=
5
|A2B2|
,求l1的方程.
(1)依题意可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0)
将点D(
2
3
)
坐标代入得2-3=λ⇒λ=-1
故所求双曲线方程为y2-x2=1.
(2)由题意l1,l2都存在非零斜率,否则l1,l2与曲线不都相交.
设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+
2
)
).
y=k(x+
2
)
y2-x2=1
消去y得(k2-1)x2+2
2
k2x+2k2-1=0(*)

依题意方程(*)有两个不等实根
k2-1≠0
△=8k4-4(k2-1)(2k2-1)=4(3k2-1)>0
k2
1
3
k2≠1

又两直线垂直,则l2的方程为y=-
1
k
(x+
2
)

完全类似地有
1
k2
1
3
1
k2
≠1

1
3
k2<1且k2≠1

从而k∈(-
3
,-
3
3
)∪(
3
3
3
)且k≠±1.
(3)由(2)得|A1B1|=
1+k2
12
k2
-4
(
k2
-1)
2

完全类似地有|A2B2|=
1+
1
k2
12
1
k2
-4
(
1
k2
-1)
2

∵|A1B1|=
5
|A2B2|,∴
1+k2
12k2-4
(k2-1)2
=
5
1+
1
k2
12×
1
k2
-4
(
1
k2
-1)2

化为k2=2.
解得k=±
2

从而求l1的方程y=
2
(x+
2
)或y=-
2
(x+
2
).
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