Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=

4

3

，|PF₂|=

14

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过点M（-2，1），交椭圆C于A，B两点，且M恰是A，B中点，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=

|PF2|2-|PF1|2

=2

5

，故椭圆的半焦距c=

5

，从而b²=a²-c²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．（6分）
（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．若直线l斜率不存在，显然不合题意．
从而可设过点（-2，1）的直线l的方程为y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称，所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
所以直线l的方程为y=

8

9

(x+2)+1，即8x-9y+25=0．
经检验，△＞0，所以所求直线方程符合题意．（14分）