题目内容
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为
,F1,F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点,且△F2AB的最大面积为
,求椭圆的方程.
| ||
2 |
2 |
由e=
得a:b:c=
:1:1,所以椭圆方程设为x2+2y2=2c2
设直线AB:x=my-c,由
得:(m2+2)y2-2mcy-c2=0
∴△=4m2c2+4c2(m2+2)=4c2(2m2+2)=8c2(m2+1)>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是方程的两个根
由韦达定理得
,所以|y1-y2|=
=
∴S△ABF2=
|F1F2||y1-y2|=c•2
c
=
≤2
c2•
=
c2
当且仅当m=0时,即AB⊥x轴时取等号
∴
c2=
,c=1
∴所求椭圆方程为
+y2=1
| ||
2 |
2 |
设直线AB:x=my-c,由
|
∴△=4m2c2+4c2(m2+2)=4c2(2m2+2)=8c2(m2+1)>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是方程的两个根
由韦达定理得
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(y1+y2)2-4y1y2 |
2
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m2+2 |
∴S△ABF2=
1 |
2 |
2 |
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m2+2 |
2
| ||||||
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2 |
1 |
2 |
2 |
当且仅当m=0时,即AB⊥x轴时取等号
∴
2 |
2 |
∴所求椭圆方程为
x2 |
2 |
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