题目内容

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为
2
2
,F1,F2为其焦点,一直线过点F1与椭圆相交于A、B两点,且△F2AB的最大面积为
2
,求椭圆的方程.
由e=
2
2
a:b:c=
2
:1:1
,所以椭圆方程设为x2+2y2=2c2
设直线AB:x=my-c,由
x=my-c
x2+2y2=2c2
得:(m2+2)y2-2mcy-c2=0
∴△=4m2c2+4c2(m2+2)=4c2(2m2+2)=8c2(m2+1)>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是方程的两个根
由韦达定理得
y1+y2=
2mc
m2+2
y1y2=-
c2
m2+2
,所以|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
2
c
m2+1
m2+2

S△ABF2=
1
2
|F1F2||y1-y2|=c•2
2
c
m2+1
m2+2
=
2
2
c2
m2+1
+
1
m2+1
≤2
2
c2
1
2
=
2
c2

当且仅当m=0时,即AB⊥x轴时取等号
2
c2=
2
,c=1

∴所求椭圆方程为
x2
2
+y2=1
练习册系列答案
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