Question

【题目】已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率是.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) .(2) 或.

【解析】试题分析：（1）求得抛物线的焦点，可得椭圆的a，由离心率公式可得c，再由a，b，c的关系，可得b，即可得到椭圆方程；（2）设直线AB的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得斜率，进而得到直线方程．

解析：

（1）由题知椭圆的焦点在轴上，且，

又，故，

故椭圆的方程为，即.

（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入，

消去，整理得.

设两点坐标分别为， .

则

由线段中点的横坐标是，得，

解得，符合（*）式.

所以直线的方程为或.