Question

10．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=-x²+4x-3．
（1）求这个函数在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象直接写出函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）为定义在R上的奇函数，从而可求得x＜0时的解析式，最后用分段函数表示函数f（x）的解析式即可．
（2）画出图象，由图象得到单调区间．

解答 解：（1）当x＜0时，则-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²+4（-x）-3=-x²-4x-3，
∵定义在R上的奇函数f（x），
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x），
∴f（x）=x²+4x+3，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$，
（2）其图象为：

由图象可知，函数f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）为减函数．

点评 本题考查奇函数的解析式的求法，考查函数的图象的作法和识别，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．