Question

用白铁皮做一个平底、圆锥形盖的圆柱形粮囤，粮囤容积为（不含锥形盖内空间），盖子的母线与底面圆半径的夹角为，设粮囤的底面圆半径为R，需用白铁皮的面积记为（不计接头等）。
（1）将表示为R的函数；
（2）求的最小值及对应的粮囤的总高度。（含圆锥顶盖）

Answer 1

（1），（2），对应粮囤的总高度为.

试题分析：（1）立体几何应用题，实际考查立体几何的侧面积. 根据圆锥及圆柱侧面积公式得：（>0），（2）对复杂函数，利用导数求函数最值.由，令，得，当时，，当时，所以当时，取得极小值也是最小值，且，此时圆柱的高为，圆锥盖的高为，所以粮囤的总高度为.
试题解析：（1）
（>0）    7分
（2），令，得    10分
当时，，当时，所以当时，取得极小值也是最小值，且，    13分
此时圆柱的高为，圆锥盖的高为，所以粮囤的总高度为    15分
答：（1）；（2），对应粮囤的总高度为。    16分