题目内容
【题目】已知.
(1)若在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(2)证明:当时,
.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)求导,
,讨论
与1 的大小确定
的正负,进而确定
的最值即可证明
(2)由(1)取,得
,要证
,只需证
,构造函数
,证明
即可证明
(1)法一:由题意,
① 若,即
时,
,则
在
单调递增,
则,则
在
单调递增,故
,满足题意;
② 若,即
时,存在
,使得
,且当
时,
,则
在
上单调递减,则
,则
在
单调递减,此时
,舍去;
③ 若,即
时,
,则
在
上单调递减,则
,则
在
单调递减,
,舍去;
故.
法二:由题知,且
,
,
要使得在
上恒成立,则必须满足
,即
,
.
① 若时,
,则
在
单调递增,则
,
则在
单调递增,故
,满足题意;
② 若时,存在
时,
,则
在
上单调递减,则
,则
在
单调递减,此时
,舍去;
故.
(2)证明:由(1)知,当时,
.取
,
则
由(1),则
,故
,
要证,只需证
.
令,则
,
,
当时,
,则
在
上单调递增,有
,
故在
单调递增,故
,
故,即有
,得证
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