题目内容
【题目】已知函数,
(
).
(1)若,求
在
上的最小值;
(2)若对于任意的实数
恒成立,求
的取值范围;
(3)当时,求函数
在
上的最小值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)利用基本不等式求解最值;
(2)转化为对于任意的实数x恒成立,求参数的取值范围;
(3)函数去绝对值,等价转化为比较与
的大小关系,数形结合求解.
(1)对于,
,
所以,
当且仅当,即
时等号成立,所以
.
(2)对于任意的实数x恒成立,即
对于任意的实数x恒成立,亦即
对于任意的实数x恒成立,
所以,即
对于任意的实数x恒成立.
又对于任意的实数x恒成立,
故只需,解得
,所以
的取值范围为
.
(3),
因为与
的底数都同为e,外函数都单调递增,
所以,比较与
的大小关系,只须比较
与
的大小关系.
令,
,
,其中
,
.
因为,所以
.
令,得
,由题意可得如下图象:
(i)当,即
时,
,
;
(ii)当,即
时,
,
;
(iii)当,即
时,
,
;
综上所述,.
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