题目内容
【题目】已知f(x)=x-(a>0),g(x)=2lnx+bx且直线y=2x-2与曲线y=g(x)相切.
(1)若对[1,+)内的一切实数x,小等式f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当a=l时,求最大的正整数k,使得对[e,3](e=2.71828是自然对数的底数)内的任意k个实数x1,x2,,xk都有成立;
(3)求证:.
【答案】(1);(2)
的最大值为
.(3)见解析.
【解析】
试题(1)设点为直线
与曲线
的切点,则有
. (*)
,
. (**)
由(*)、(**)两式,解得,
.
由整理,得
,
,
要使不等式
恒成立,必须
恒成立.
设,
,
,
当
时,
,则
是增函数,
,
是增函数,
,
因此,实数的取值范围是
.
(2)当时,
,
,
在
上是增函数,
在
上的最大值为
.
要对内的任意
个实数
都有
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,
当
时不等式左边取得最大值,
时不等式右边取得最小值.
,解得
.
因此,的最大值为
.
(3)证明(法一):当时,根据(1)的推导有,
时,
,
即.
令,得
,
化简得,
.
(法二)数学归纳法:当时,左边=
,右边=
,
根据(1)的推导有,时,
,即
.
令,得
,即
.
因此,时不等式成立.
(另解:,
,
,即
.)
假设当时不等式成立,即
,
则当时,
,
要证时命题成立,即证
,
即证.
在不等式中,令
,得
.
时命题也成立.
根据数学归纳法,可得不等式对一切
成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款,大学生
的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”.他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人,男20人)在某天的走路步数,经统计,其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别:
、0~2000步,(说明:“0~2000”表示“大于或等于0,小于2000”,以下同理),
、2000~5000步,
、5000~8000步,
、8000~10000步,
、10000~12000步,且
三种类别的人数比例为
,将统计结果绘制如图所示的柱形图;男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图.
参与者 | 超越者 | 合计 | |
男 | 20 | ||
女 | 20 | ||
合计 | 40 |
若某人一天的走路步数大于或等于8000,则被系统认定为“超越者”,否则被系统认定为“参与者”.
(Ⅰ)若以大学生抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布,作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布,试估计大学生
的参与“微信运动”的400位微信好友中,每天走路步数在
(Ⅱ)若在大学生该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中,按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查,然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访,求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率;
(Ⅲ)请根据抽取的样本数据完成下面的列联表,并据此判断能否有
的把握认为“认定类别”与“性别”有关?
【题目】为了改善空气质量,某市规定,从2018年1月1日起,对二氧化碳排放量超过的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测,记录如下:(单位:
)
甲 | 80 | 110 | 120 | 140 | 150 |
乙 | 100 | 120 | 100 | 160 |
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为.
(1)求表中的值,并比较甲乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性;
(2)从被检测的5辆甲品牌汽车中随机抽取2辆,求至少有1辆二氧化碳排放量超过的概率.(注:方差
,其中
为
的平均数).