题目内容
【题目】已知f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣
)+cosx+a(a∈R,a是常数).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若a=0,作出y=f(x)在[﹣π,π]上的图象;
(3)若x∈[﹣ ,
]时,f(x)的最大值为1,求a的值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣
)+cosx+a,
=sinxcos +cosxsin
+sinxcos
﹣cosxsin
+cosx+a,
= sinx+cosx+a,
=2sin(x+ )+a,
∴函数f(x)的最小正周期T= =2π
(2)解:当a=0时,y=f(x)=2sin(x+ )
列表如下:
x | ﹣π | ﹣ | ﹣ | π | ||
x+ | ﹣ | ﹣ |
| 0 | ||
y | ﹣1 | ﹣2 | 0 | 2 | 0 | ﹣1 |
对应的图象如下:
(3)解:由x∈[﹣ ,
]时,由(2)可知:当x+
=
,即x=
时,f(x)取得最大值,最大值为2+a,
∴a+2=1,即a=﹣1,
∴a的值﹣1
【解析】(1)由题意可知:f(x)=sin(x+ )+sin(x﹣
)+cosx+a,利用两角和差的正弦公式及辅助角公式,即可求得f(x)=2sin(x+
)+a,由函数f(x)的最小正周期T=
=2π;(2)由当a=0,y=f(x)=2sin(x+
),采用五点作图法,即可求得y=f(x)在[﹣π,π]上的图象;(3)由(2)可知:y=f(x)在[﹣
,
]上的图象可知,当x+
=
,即x=
时,f(x)取得最大值,最大值为2+a,则a+2=1,可得a的值﹣1.
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