Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的最值；

（2）函数图像在点处的切线斜率为有两个零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求导数，得导函数零点，根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值取法，（2）先根据导数几何意义确定a的值，再根据零点条件列等量关系： ，根据目标不等式构造 ，最后利用导数研究函数 最值可证不等式

试题解析：（1），

当时，在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值；

当时，在上单调递增，在上单调递减，有最大值，无最小值.

（2）依题知，即，所以，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

因为是的两个零点，必然一个小于，一个大于，不妨设.

因为，

所以，

变形为.

欲证，只需证，

即证.

令，则只需证对任意的都成立.

令，则

所以在上单增，

即对任意的都成立.

所以.