题目内容
在数列{an}中,a1=16,数列{bn}是公差为-1的等差数列,且bn=log2an
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)在数列{bn}中,若存在正整数p,q使bp=q,bq=p(p>q),求p,q得值;
(Ⅲ)若记cn=an•bn,求数列{cn}的前n项的和Sn.
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)在数列{bn}中,若存在正整数p,q使bp=q,bq=p(p>q),求p,q得值;
(Ⅲ)若记cn=an•bn,求数列{cn}的前n项的和Sn.
(Ⅰ)数列{an}中,a1=16,数列{bn}是公差为-1的等差数列,且bn=log2an;
∴bn+1=log2an+1,∴bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2
=-1;
∴
=
,∴{an}是等比数列,通项公式为an=16×(
)n-1=(
)n-5;
∴{bn}的通项公式bn=log2an=log2(
)n-5=5-n;
(Ⅱ)数列{bn}中,∵bn=5-n,假设存在正整数p,q使bp=q,bq=p(p>q),
则
,解得
,或
;
(Ⅲ)∵an=(
)n-5,bn=5-n,∴cn=an•bn=(5-n)×(
)n-5;
∴{cn}的前n项和Sn=4×(
)-4+3×(
)-3+2×(
)-2+…+[5-(n-1)]×(
)(n-1)-5+(5-n)×(
)n-5①,
∴
sn=4×(
)-3+3×(
)-2+2×(
)-1+…+[5-(n-1)]×(
)n-5+(5-n)×(
)(n+1)-5②;
①-②得:
sn=4×(
)-4-(
)-3-(
)-2-(
)-1-…-(
)n-5-(5-n)×(
)n-4=64-
-(5-n)×(
)n-4=48+(n-3)×(
)n-4;
∴sn=96+(n-3)×(
)n-5.
∴bn+1=log2an+1,∴bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2
an+1 |
an |
∴
an+1 |
an |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴{bn}的通项公式bn=log2an=log2(
1 |
2 |
(Ⅱ)数列{bn}中,∵bn=5-n,假设存在正整数p,q使bp=q,bq=p(p>q),
则
|
|
|
(Ⅲ)∵an=(
1 |
2 |
1 |
2 |
∴{cn}的前n项和Sn=4×(
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
①-②得:
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(
| ||||
1-
|
1 |
2 |
1 |
2 |
∴sn=96+(n-3)×(
1 |
2 |
练习册系列答案
相关题目