题目内容
已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn<
对所有n∈N*都成立的最小正整数m.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=
3 |
anan+1 |
m |
20 |
(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),
则f′(x)=2ax+b,
由于f′(x)=6x-2,得
a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
所以Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,
所以,an=6n-5(n∈N*)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知bn=
=
=
(
-
),
故Tn=
bi=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]=
(1-
).
因此,要使
(1-
)<
(n∈N*)成立的m,必须且仅须满足
≤
,即m≥10,
所以满足要求的最小正整数m为10.
则f′(x)=2ax+b,
由于f′(x)=6x-2,得
a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
所以Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,
所以,an=6n-5(n∈N*)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知bn=
3 |
anan+1 |
3 |
(6n-5)(6(n+1)-5) |
1 |
2 |
1 |
6n-5 |
1 |
6n+1 |
故Tn=
n |
i=1 |
1 |
2 |
1 |
7 |
1 |
7 |
1 |
13 |
1 |
6n-5 |
1 |
6n+1 |
1 |
2 |
1 |
6n+1 |
因此,要使
1 |
2 |
1 |
6n+1 |
m |
20 |
1 |
2 |
m |
20 |
所以满足要求的最小正整数m为10.
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