题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知A、B、C是椭圆上不同的三点,
,C在第三象限,线段BC的中点在直线OA上。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点P在椭圆上(异于点A、B、C)且直线PB, PC分别交直线OA于M、N两点,证明为定值并求出该定值.
【答案】(1)(2)点
的坐标为
.(3)
为定值,定值为
.
【解析】试题分析:(1)将点A,B的坐标代入方程即可求得,(2)设点
,得BC的中点坐标,带去直线OA联立椭圆方程即可求得m,n,从而得C的坐标,(3)分别设出P,N,M三点坐标,根据P,B,M三点共线和P,C,N三点共线得到M,N,P的关系,将P点坐标代入椭圆方程即可得各系数之间的关系,于是
化简得定制
试题解析:
解:(1)由已知,得 解得
所以椭圆的标准方程为.
(2)设点
,则
中点为
.
由已知,求得直线的方程为
,从而
.①
又∵点在椭圆上,∴
.②
由①②,解得(舍),
,从而
. 所以点
的坐标为
.
(3)设,
,
.
∵三点共线,∴
,整理,得
.
∵三点共线,∴
,整理,得
.
∵点在椭圆上,∴
,
.
从而.
所以.∴
为定值,定值为
.
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