Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+a+1．
（1）当a=1时，求函数在区间[﹣2，3]上的值域；
（2）函数f（x）在[﹣5，5]上单调，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）在[0，2]上的最小值g（a）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（x）=x2+2ax+a+1，

当a=1时：f（x）=x2+2x+2，x∈[﹣2，3]，

考虑函数f（x）的对称轴x=﹣1∈[﹣2，3]，

∴fmin（x）=f（﹣1）=1，

∴fmax（x）=f（3）=17；

∴函数的值域是[1，17]

（2）解：∵函数f（x）在[﹣5，5]上单调，

∴函数的对称轴x=﹣a[﹣5，5]，

∴a∈（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）

（3）解：①当﹣a＜0时，即a＞0函数f（x）=x2+2ax+a+1在区间[0，2]上是增函数，

故当x=0时，函数取得最小值是f（0）=a+1；

②当0≤﹣a≤2时，即﹣2≤a≤0由于函数f（x）=x2+2ax+a+1对称轴是x=﹣a，

故当x=﹣a时，函数在区间[0，2]上取得最小值是f（﹣a）=a2+a+1．

③当﹣a＞2时，即a＜﹣2函数f（x）=x2+2ax+a+1在区间[0，2]上是减函数，

故当x=2时，函数取得最小值是f（2）=5a+5．

综上可得 g（a）=

【解析】（1）将a=1的值代入f（x）的表达式，求出函数f（x）的解析式，从而求出函数的值域即可；（2）先求出函数的对称轴，结合函数的单调性判断即可；（3）通过讨论a的范围，根据函数的单调性判断g（a）的解析式即可．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和二次函数在闭区间上的最值是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；当时，当时，；当时在上递减，当时，．