Question

【题目】已知定义在上的奇函数.

（1）求的值；

（2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)k=2，（2）（1，+∞）

【解析】

（1）利用奇函数定义可求得k＝1；

（2）先利用奇函数和增函数性质化简不等式，然后分离参数，先对m恒成立，构造函数转化为最大值，接着再对n恒成立，构造函数转化为最大值．即可求出t的范围．

（1）由f（x）+f（﹣x）＝0，得0，

即（k﹣2）（ ax+a﹣x）＝0对任意实数都成立，

∴k＝2；

（2）由（1）知：f（x），

①当a＞1时，a2﹣1＞0，y＝ax与y＝﹣a﹣x在R上都是增函数，

所以函数f（x）在R上是增函数；

②当0＜a＜1时，a2﹣1＜0，y＝ax与y＝﹣a﹣x在R上都是减函数，

所以函数f（x）在R上是增函数．

综上，f（x）在R上是增函数．

（此结论也可以利用单调性的定义证明）

不等式可化为f（2n2﹣m）＞﹣f（2n﹣mn2），

∵函数f（x）是奇函数，

∴不等式可化为f（2n2﹣m）＞f（﹣2n+mn2﹣2t）；

又∵f（x）在R上是增函数．

∴2n2﹣m＞﹣2n+mn2﹣2t

即2t＞（n2+1）m﹣2n2﹣2n，对于m∈[0，1]恒成立．

设g（m）＝（n2+1）m﹣2n2﹣2n，m∈[0，1]．

则2t＞g（m）max＝g（1）＝﹣n2﹣2n+1

所以2t＞﹣n2﹣2n+1，对于n∈[﹣1，0]恒成立．

设h（n）＝﹣n2﹣2n+1，n∈[﹣1，0]．

则2t＞h（n）max＝h（﹣1）＝2．

所以t的取值范围是（1，+∞）．