题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是菱形,且
.点
是棱
的中点,平面
与棱
交于点
.
(1)求证:∥
;
(2)若,且平面
平面
,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)推导出,从而
平面
,由此能证明
.
(2)取中点
,连接
,
,以
为原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,利用向量法能求出平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:∵是菱形,∴
,
又平面
,
平面
,
∴平面
,
∵四点共面,且面
面
,
∴.
(2)解:取中点
,连接
,
,
∵,∴
,
∵平面平面
,平面
平面
,
∴面
,
∴,在菱形
中,∵
,
,
是
中点,
∴,
如图,以为原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,
由得,
,
,
,
,
,
.
又∵,点
是棱
中点,∴点
是棱
中点,
∴,
,
,
设平面的法向量为
,
则有,
,取
,则
.
∵平面
,∴
是平面
的一个法向量,
,二面角
的余弦值为
,
∴平面与平面
所成的二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】从2017年1月18日开始,支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡(爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),除夕夜22:18,每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生,就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查(若未参与集五福的活动,则也等同于未集齐五福),得到具体数据如下表:
是否集齐五福 性别 | 是 | 否 | 合计 |
男 | 30 | 10 | 40 |
女 | 35 | 5 | 40 |
合计 | 65 | 15 | 80 |
(1)根据如上的列联表,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为“集齐五福与性别有关”?
(2)计算这80位大学生集齐五福的频率,并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数;
(3)为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动,该大学的学生会从集齐五福的学生中,选取2位男生和3位女生逐个进行采访,最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上,求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率.