题目内容
【题目】已知椭圆C: 的长轴长为4,焦距为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴与点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点,过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、,证明
为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)(i)证明见解析;(ii)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可得,椭圆C的方程为
.
(Ⅱ)(i)设,由题意可得
,结合斜率公式可得PM的斜率
,QM的斜率
,故
为定值-3.
(ii)设,直线PA的方程为
,与椭圆方程联立可得
.则
,
,同理
,故
.结合均值不等式的结论可得当且仅当
时,直线AB的斜率有最小值为
.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,
由题意知,
所以,
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(i)设,
由,可得
,
所以直线PM的斜率,
直线QM的斜率,
此时,所以
为定值-3.
(ii)设,
直线PA的方程为,
直线QB的方程为,
联立,
整理得.
由可得
,
所以,
同理,
所以,
,
所以.
由,可知
,
所以,等号当且仅当
时取得,
此时,即
,符合题意,
所以直线AB的斜率的最小值为.
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