[题目]已知在平面直角坐标系中的一个椭圆.它的中心在原点.左焦点为.右顶点为.设点.(1)求该椭圆的标准方程,(2)若是椭圆上的动点.求线段中点的轨迹方程,(3)过原点的直线交椭圆于点.求面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由"左焦点为，右顶点为"得到椭圆的半长轴，半焦距，再求得半短轴最后由椭圆的焦点在轴上求得方程；（2）设线段的中点为，点的坐标是，由中点坐标公式，分别求得，代入椭圆方程，可求得线段中点的轨迹方程；（3）分直线垂直于轴时和直线不垂直于轴两种情况分析，求得弦长，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.

试题解析：（1）椭圆的标准方程为.

（2）设线段的中点为，点的坐标是，

由，得

点在椭圆上，得

∴线段中点的轨迹方程是.

（3）当直线垂直于轴时，，因此的面积.

当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，

解得，，

则，又点到直线的距离，

∴的面积

于是

由，得，其中，当时，等号成立.

∴的最大值是.

练习册系列答案

相关题目

【题目】（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）

如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且

（1）若，求椭圆的标准方程

（2）若求椭圆的离心率

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列对应值如下表：

x
y	﹣1	1	3	1	﹣1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数f（x）的一个解析式．
（2）根据（1）的结果，若函数y=f（kx）（k＞0）周期为，当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

【题目】f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）
A.
B.
C.[3，+∞）
D.（0，3]

【题目】已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．

【题目】己知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．

【题目】下列命题中，真命题是（）
A.若与互为负向量，则 + =0
B.若 =0，则 = 或 =
C.若，都是单位向量，则 =1
D.若k为实数且k = ，则k=0或 =

【题目】养正中学新校区内有一块以O为圆心，R（单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCD区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。

（1）设（单位：弧度），用表示弓形BCD的面积

（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地。如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值

【题目】已知函数f（x）=ax+ （其中a，b为常数）的图象经过（1，2），（2，）两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性．

试题分类