题目内容
【题目】己知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=2loga(2x+t)(t∈R),a>0,且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)﹣g(x)=0的一个解,求t的值;
(2)当0<a<1且t=﹣1时,解不等式f(x)≤g(x);
(3)若函数F(x)=af(x)+tx2﹣2t+1在区间(﹣1,2]上有零点,求t的取值范围.
【答案】
(1)解:∵1是关于x的方程f(x)﹣g(x)=0的一个解,
∴loga2﹣2loga(2+t)=0,
∴2=(2+t)2,
∴t= ﹣2
(2)解:当0<a<1且t=﹣1时,
不等式f(x)≤g(x)可化为
loga(x+1)≤2loga(2x﹣1),
故 ,
解得, <x≤
(3)解:F(x)=af(x)+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2,
令tx2+x﹣2t+2=0,
即t(x2﹣2)=﹣(x+2),
∵x∈(﹣1,2],∴x+2∈(1,4],
∴t≠0,x2﹣2≠0;
∴ =﹣
=﹣[(x+2)+
]+4,
∵2 ≤(x+2)+
≤
,
∴﹣ ≤﹣[(x+2)+
]+4≤4﹣2
,
∴﹣ ≤
≤4﹣2
,
∴t≤﹣2或t≥
【解析】(1)由题意得loga2﹣2loga(2+t)=0,从而解得.(2)由题意得loga(x+1)≤2loga(2x﹣1),由对数函数的单调性可得 ,从而解得.(3)化简F(x)=tx2+x﹣2t+2,从而令tx2+x﹣2t+2=0,讨论可得
=﹣
=﹣[(x+2)+
]+4,从而解得.
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