题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论极值点的个数;
(2)若有两个极值点
,
,且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
有两个极值点;
当时,
没有极值点.
(2)
【解析】
(1)根据的根的情况,对
的值进行讨论,从而得出极值点的个数;
(2)由(1)得,借助此等式将不等式中
的
进行换元,构造出新函数,研究其性质,得出
的取值范围.
(1)由,
得.
令,得
,
即,
令,则
,且
,
由得
.
当时,
,
在
单调递增;
当时,
,
在
单调递减.
所以,,
且当时,
;当
时,
.
所以,当,
方程有两解,不妨设为
故当时,
,故
单调递减,
当时,
,故
单调递增,
当时,
,故
单调递减,
即时,
有两个极值点;
当,
恒成立,故
单调递减,
即时,
没有极值点.
(2)不妨设,
由(1)知,
,
则,
两边取对数,所以,
所以,
即.
令,
,
则,
.
因为,
即,
所以,
即,
设,则
,
且.
易知.记
,则
,
且,
考查函数,
.
①当时,
,
则,即
,
所以在
上单调递减,
所以当时,
,
所以当时符合题意.
②当时,
,
有两个不同零点
,
,且
,
,
不妨设,则
,
当时,
,则
,
所以在
上单调递增,
故存在,使得
,
所以,当时,不符合题意,
综上,的取值范围是
.
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