题目内容
【题目】【广西名校2017届高三上学期第一次摸底】如图,过抛物线上一点
,作两条直线分别交抛物线于
,
,
当与
的斜率存在且倾斜角互补时:
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若直线在
轴上的截距
时,求
面积
的最大值.
【答案】(I);(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(I)设出,
的点坐标,根据
,得到
,进而根据点在抛物线上,把
换成
,即可得出结果;(II)由
,得出
,设直线
的方程为
,与抛物线联立可得
,又点
到直线
的距离为
,所以
,构造关于
的函数,求导利用单调性求最值即可.
试题解析:解(Ⅰ)由抛物线过点
,得
,
设直线的斜率为
,直线
的斜率为
,由
、
倾斜角互补可知
,
即,
将,代入得
.
(Ⅱ)设直线的斜率为
,由
,
得,
由(Ⅰ)得,将其代入上式得
.
因此,设直线的方程为
,由
,消去
得
,
由,得
,这时,
,
,又点
到直线
的距离为
,所以
,
令,则由
,令
,得
或
.
当时,
,所以
单调递增,当
时,
,所以
单调递减,故
的最大值为
,故
面积
的最大值为
.
(附:,当且仅当
时取等号,此求解方法亦得分)
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