Question

【题目】已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0（2）

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；

（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值.

试题解析：

　(1)将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．

①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，

∴d＝＝，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．∴y＝(2±)x；

②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，

∴d＝＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

(2)∵|PO|＝|PM|，∴x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，解得方程组得∴P点坐标为．