Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB1D1；
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD．

在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1．

又因为E、F为棱AD、AB的中点，

所以EF∥BD．

所以EF∥B1D1．

又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，

所以EF∥平面CB1D1．

（2）证明：因为在正方体AC1中，

AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，

所以AA1⊥B1D1．

又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

所以B1D1⊥平面CAA1C1．

又因为B1D1平面CB1D1，

所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．

【解析】（1）欲证EF∥平面CB1D1 ， 根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1 ， 又B1D1平面CB1D1 ， EF平面CB1D1 ， 满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1 ， 根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， B1D1平面A1B1C1D1 ， 则AA1⊥B1D1 ， A1C1⊥B1D1 ， 满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1 ， 而B1D1平面CB1D1 ， 满足定理所需条件．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．