题目内容
4.已知集合D={x|$\frac{24-x}{x-9}$>0},若a,b∈D,且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$,则9a•3b的最小值为354.分析 由$\frac{24-x}{x-9}$>0,化为一元二次不等式,解得9<x<24.由于a,b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$,可得12<b<24,变形2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+(b-6),利用基本不等式的性质可得2a+b的取值范围,即可得出9a•3b=32a+b的最小值.
解答 解:由$\frac{24-x}{x-9}$>0,化为(x-9)(x-24)<0,解得9<x<24.
∵a,b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$,
∴9<a=$\frac{12b}{b-6}$<24,
∴12<b<24,
∴2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+(b-6)≥30+2 $\sqrt{\frac{144}{b-6}•(b-6)}$=54,
当且仅当b=18时取等号.
则9a•3b=32a+b≥354.
故答案为:354.
点评 本题考查了分式不等式与一元二次不等式的解法、基本不等式的性质、指数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 120种 | B. | 72种 | C. | 56种 | D. | 24种 |
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(Ⅰ)若全校共有学生2000名,其中男生1100名,现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查,应抽取多少名女生?
(Ⅱ)下表1,2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩:
表1
表2
完成下面2×2列联表,并回答是否有99%的把握认为这两种教学法有差异.
参考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
参考数据:
(Ⅰ)若全校共有学生2000名,其中男生1100名,现抽取100名学生对两种教学方式的受欢迎程度进行问卷调查,应抽取多少名女生?
(Ⅱ)下表1,2分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩:
表1
数学成绩 | 90分以下 | 90-120分 | 120-140分 | 140分以上 |
频 数 | 15 | 20 | 10 | 5 |
数学成绩 | 90分以下 | 90-120分 | 120-140分 | 140分以上 |
频 数 | 5 | 40 | 3 | 2 |
班 次 | 120分以下(人数) | 120分以上(人数) | 合计(人数) |
一班 | 35 | 15 | 50 |
二班 | 45 | 5 | 50 |
合计 | 80 | 20 | 100 |
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 0.708 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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