题目内容

4.已知集合D={x|$\frac{24-x}{x-9}$>0},若a,b∈D,且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$,则9a•3b的最小值为354

分析 由$\frac{24-x}{x-9}$>0,化为一元二次不等式,解得9<x<24.由于a,b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$,可得12<b<24,变形2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+(b-6),利用基本不等式的性质可得2a+b的取值范围,即可得出9a•3b=32a+b的最小值.

解答 解:由$\frac{24-x}{x-9}$>0,化为(x-9)(x-24)<0,解得9<x<24.
∵a,b∈D且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{12}$,
∴9<a=$\frac{12b}{b-6}$<24,
∴12<b<24,
∴2a+b=$\frac{24b}{b-6}$+b=30+$\frac{144}{b-6}$+(b-6)≥30+2 $\sqrt{\frac{144}{b-6}•(b-6)}$=54,
当且仅当b=18时取等号.
则9a•3b=32a+b≥354
故答案为:354

点评 本题考查了分式不等式与一元二次不等式的解法、基本不等式的性质、指数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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