Question

6．在实数集R上定义一种运算“△”，对任意a，b∈R，具有性质：①a△b=b△a；②a△1=a；③（a△b）△c=c△（a•b）+（a△c）+（b△c）+c，则当x≠0时，函数f（x）=x△$\frac{1}{x}$的值域是（-∞，0]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 根据性质即可得到f（x）=$x△\frac{1}{x}=（x△\frac{1}{x}）△1=x+\frac{1}{x}+2$，讨论x＞0，x＜0，根据基本不等式即可得出函数f（x）的值域．

解答 解：由运算“△”的性质知：$x△\frac{1}{x}=（x△\frac{1}{x}）△1=1△（x•\frac{1}{x}）$$+（x△1）+（\frac{1}{x}△1）+1$=1$+x+\frac{1}{x}+1=x+\frac{1}{x}+2$；
∴$f（x）=x+\frac{1}{x}+2$；
∴x＞0时，$x+\frac{1}{x}≥2$，f（x）≥4；
x＜0时，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，f（x）≤0；
∴函数f（x）的值域为（-∞，0]∪[4，+∞）．
故答案为：（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 考查对新运算“△”的理解，想着利用性质将函数f（x）的解析式求出来，从而便可求函数f（x）的值域，以及基本不等式在求函数值域中的应用，注意基本不等式成立的条件．