Question

14．函数$y=2x+\sqrt{1-2x}$的值域为（-∞，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 函数解析式中有根号，从而可想着换元去根号：令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，这样即可将原函数变成二次函数y=-t²+t+1，求其对称轴，便可求出该函数在[0，+∞）上的最大值，且容易知道函数值y趋向于负无穷，这样即可得出原函数的值域．

解答 解：令$\sqrt{1-2x}=t$，t≥0，则2x=1-t²；
∴原函数变成：y=-t²+t+1，t≥0；
二次函数y=-t²+t+1的对称轴为t=$\frac{1}{2}$；
∴$t=\frac{1}{2}$时该函数取最大值$\frac{5}{4}$；
∴$y≤\frac{5}{4}$；
即原函数的值域为（-∞，$\frac{5}{4}$]．
故答案为：$（-∞，\frac{5}{4}]$．

点评 考查值域的概念，含根号函数的处理方法：换元去根号，注意换元后变量的范围，二次函数的对称轴，二次函数的最值，及二次函数值域的求法，要熟悉二次函数的图象．