Question

16．已知等差数列{a_n}的公差d＜0，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n与b_n；             
（2）求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{b_n}的公比为q，运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的通项公式，列方程，解得公比和公差，即可得到所求通项；
（2）由等差数列的求和公式，运用配方，结合二次函数的最值求法，可得最大值．

解答 解、（1）设等比数列{b_n}的公比为q，
则a_n=3+（n-1）d，${b_n}={q^{n-1}}$，S_n=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
依题意有$\left\{{\begin{array}{l}{{S_3}{b_3}=（9+3d）{q^2}=960}\\{{S_2}{b_2}=（6+d）q=64}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=8}\end{array}}\right.$，（舍去） 或$\left\{{\begin{array}{l}{d=-\frac{6}{5}}\\{q=\frac{40}{3}}\end{array}}\right.$，
故${a_n}=3+（n-1）×（-\frac{6}{5}）=-\frac{6}{5}n+\frac{21}{5}$，${b_n}={（\frac{40}{3}）^{n-1}}$；
（2）${S_n}=-\frac{3}{5}{n^2}+\frac{18}{5}n$，
=-$\frac{3}{5}{（n-3）^2}+\frac{27}{5}$，
∴当$n=3时{S_n}的最大值为\frac{27}{5}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查方程的思想，考查运算能力，属于中档题．