题目内容
1．在平面直角坐标系中，若x与y都是整数，就称（x，y）为整点，下列命题中正确的是（ ）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．
| A． | ①⑤ | B． | ②④ | C． | ④⑤ | D． | ①③⑤ |
分析 ①举例子说明命题是真命题；
②举反例说明命题是假命题；
③取直线l的两个不同整点，设方程为y=kx，把两整点的坐标代入l的方程，两式相减得到两整点的横、纵坐标之差的那个点也为整点且在l上，由此得到直线l经过无穷多个整点，判定命题为真；
④利用充分必要条件判断即可；
⑤举例子说明命题为真命题．
解答 解：①直线y=x+$\frac{1}{2}$，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，∴命题①正确；
②当k=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$时，直线y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$过整点（1，0），∴命题②错误；
③设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），
把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，
两式相减得：y1-y2=k（x1-x2），
则（x1-x2，y1-y2）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，∴命题③正确；
④当直线y=kx+b经过无穷多个整点时，k、b都是有理数，如y=x+1，∴充分性成立；
反之，当k、b都是有理数时，直线y=kx+b经过无穷多个整点，不一定成立，如y=x+$\frac{1}{2}$，∴必要性不成立；
∴命题④错误；
⑤直线y=$\sqrt{2}$x只过一个整点（0，0），∴命题⑤正确．
综上，正确命题有3个，序号是①③⑤．
故选：D．
点评 本题考查了判定命题真假的问题以及对题中新定义的理解能力，是中档题．
练习册系列答案
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13．命题p：?x∈R，x2+1≥0的否定是（ ）
| A． | ￢p：?x∈R，x2+1＜0 | B． | ￢p：?x∈R，x2+1＜0 | C． | ￢p：?x∈R，x2+1≥0 | D． | ￢p：?x∈R，x2+1≤0 |
16．
为了解我市大学生的体质状况，对昆明地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取100名学生，测得其身高情况如表所示．
（Ⅰ）求出频率分布表中①、②、③位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（Ⅱ）若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
为了解我市大学生的体质状况，对昆明地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取100名学生，测得其身高情况如表所示．| 分组 | 频数 | 频率 |
| [160，165） | ① | 0.050 |
| [165，170） | 20 | 0.200 |
| [170，175） | ② | ③ |
| [175，180） | 30 | 0.300 |
| [180，185] | 10 | 0.100 |
| 合 计 | 100 | 1.000 |
（Ⅱ）若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
17．已知复数z满足|z|=z+1-3i（其中i为虚数单位），则$\frac{z}{1+i}$的共轭复数是（ ）
| A． | $\frac{7}{2}$+$\frac{1}{2}$i | B． | -$\frac{7}{2}$+$\frac{1}{2}$i | C． | $\frac{7}{2}$-$\frac{1}{2}$i | D． | 4-3i |