Question

【题目】如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（I）求直线AP斜率的取值范围；

（II）求的最大值

Answer 1

【答案】（I）（-1，1）；（II）.

【解析】

试题本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）由斜率公式可得AP的斜率为，再由，得直线AP的斜率的取值范围；（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程，得Q的横坐标，进而表达与的长度，通过函数求解的最大值．

试题解析：

（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，

，

因为，所以直线AP斜率的取值范围是．

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是．

因为|PA|==，

|PQ|= ，

所以．

令，

因为，

所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，

因此当k=时，取得最大值．