题目内容
【题目】对于定义在上的函数
,如果存在两条平行直线
与
,使得对于任意
,都有
恒成立,那么称函数
是带状函数,若
,
之间的最小距离
存在,则称
为带宽.
(1)判断函数是不是带状函数?如果是,指出带宽(不用证明);如果不是,说明理由;
(2)求证:函数(
)是带状函数;
(3)求证:函数(
)为带状函数的充要条件是
.
【答案】(1)是,带宽;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)先理解带状函数的特征,再求函数的值域即可得解;
(2)由函数,(
)的图像表示双曲线
在第一象限的部分,
再结合双曲线的渐近线即可找出两平行直线;
(3)由分段函数的图像特征,结合带状函数的定义,分别证明充分性及必要性即可.
解:(1)因为,所以
,
取直线 ,则
恒成立,
即函数是带状函数,带宽为
;
(2)因为,(
)表示双曲线
在第一象限的部分,又双曲线的渐近线方程为
,故函数
满足
,则函数
为
有一个宽带为
的带状函数;
(3)函数 ,
先证充分性,当时,
,
不妨设 ,则
,即存在直线
,
,满足题意,即函数
为带状函数,
再证必要性,当函数(
)为带状函数,
则存在,又
,当
,则直线
与两直线
,
中至少一条相交,故不满足
,即
不满足题意,即
,
故函数(
)为带状函数的充要条件是
.
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