题目内容
【题目】设a为实数,函数,
若
,求不等式
的解集;
是否存在实数a,使得函数
在区间
上既有最大值又有最小值?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由;
写出函数
在R上的零点个数
不必写出过程
【答案】(1);(2)不存在;(3)3.
【解析】
代入a的值,通过讨论a的范围,求出不等式的解集即可;
通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,求出函数的最值,得到关于a的不等式组,解出判断即可;
通过讨论a的范围,判断函数的零点个数即可.
(1)由题意,当时,
,
当时,
,即
,
故不存在这样的实数x,
当时,
,即
,解得:
,
故不等式的解集是
;
,
若
,则
在
递增,在
递减,在
递增,
函数
在
上既有最大值又有最小值,
,
,
从而,即
,
解得:,
故不存在这样的实数a;
若
,则
在
递增,在
递减,在
递增,
函数
在区间
上既有最大值又有最小值,
故,
,
从而,即
,
解得:,
故不存在这样的实数a;
若
,则
为R上的递增函数,
故在
上不存在最大值又有最小值,
综上,不存在这样的实数a;
当
或
时,函数
的零点个数为1,
当或
时,函数
的零点个数为2,
当时,函数
的零点个数为3.
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