题目内容
【题目】已知函数,
为实数.
(1)当时,判断并证明函数
在区间
上的单调性;
(2)是否存在实数,使得
在闭区间
上的最大值为
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)在
上单调递减,证明见解析;(2)存在
【解析】
(1)根据得到
解析式,然后根据
,得到
解析式,再设
且
,整理化简
,判断出每个因式的正负,从而得到
,从而证明
在
上的单调性;(2)根据
,判断出
单调区间,然后根据对称轴
与区间
之间的关系,进行分类讨论,从而得到答案.
(1)当时,
在
上单调递减.
以下为证明:
当,得到
,
所以当时,
,
设且
,
因为,所以
,
所以,所以
又因,所以
,
即
所以当时,
在
上单调递减.
(2),
因为
所以在
,
上单调递增,在
上单调递减,
①当,即
时,
在
上单调递减,
,即
,解得
,
②当,即
时,
在
单调递增,在
单调递减,
,即
,解得
(舍),
③当,即
时,
在
上单调递增,
,即
,解得
(舍),
综上所述,.
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