Question

【题目】已知函数f (x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2，讨论f (x)的单调性．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先求导函数，将其分解因式后，对a分类讨论，分别求得导函数为0时的根的情况，利用导函数的正负解得相应的x的范围，从而判断原函数的单调性．

f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．

①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.

所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

②设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．

(a)若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)，

所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

(b)若a>－，则ln(－2a)<1，

故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)<0.

所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．

(c)若a<－，则ln(－2a)>1，

故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0.

所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．

综上所述，当时，单增区间为（﹣∞，1）和（ln（﹣2a），+∞），单减区间为（1，ln（﹣2a））；

当时，只有单增区间为（﹣∞，+∞）；

当时，单增区间为（﹣∞，ln（﹣2a））和（1，+∞），单减区间为（ln（﹣2a），1）；

当a≥0时，单减区间为（﹣∞，1），单增区间为（1，+∞）．