Question

.选修4-1：几何证明选讲：
如图，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上，．

(Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
(Ⅱ)若，求EC的长．

Answer 1

(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) EC=． 

（I）只需证明：设圆心为O，则证明即可.进一步可考虑证明OE//BC.
(II)可以利用切割线定理解决，先通过,求出半径长，再利用OE//BC，可得，求出EC的长.
(Ⅰ)取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． --------------------5分
(Ⅱ)设⊙O的半径为r，则在△AOE中，
，即，解得,
∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=．   ------------------------------10分