Question

（本题满分10分）如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G.
（1）求证：△DFE∽△EFA；
（2）如果EF=1，求FG的长.

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析.

（1）在已有一个公共角∠DFE=∠EFA情况下，关键再证∠DEF=∠FAB即可.
(2) ∵△DFE∽△EFA，∴=.∴EF²=FA·FD.
∵FG切圆于G，∴FG²=FA·FD.到此问题基本得到解决.
（1）证明 ∵EF∥CB，
∴∠DEF=∠DCB.
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DEF=∠DAB.
∵∠DFE=∠EFA，
∴△DFE∽△EFA.
（2）∵△DFE∽△EFA，∴=.
∴EF²=FA·FD.
∵FG切圆于G，∴FG²=FA·FD.
∴EF²=FG².∴EF=FG.∵EF=1，∴FG=1.