Question

如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．

（I）求证：直线是⊙的切线；
（II）若⊙的半径为，求的长．

Answer 1

（1）见解析 （2）OA=5

（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；
（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长
解：（1）如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；
（2）∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC．
∴BC BE ="BD" BC ，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED="1" 2 ，∴CD ：EC =1： 2 ．
∵△BCD∽△BEC，∴BD ：BC =CD： EC ="1" ：2 ，设BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+6），解得x₁=0，x₂=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）