Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．

（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．（Ⅲ）﹣．

【解析】

（Ⅰ）由题知，如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算，证明，从而平面PAC，即可得证；

（Ⅱ）求解平面PDE的一个法向量，计算，即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求解平面PBE的一个法向量，计算，即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

（Ⅰ）PC⊥底面ABCD，，

如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，，

，又，平面PAC，

平面PDE，平面PDE⊥平面PAC；

（Ⅱ）设为平面PDE的一个法向量，

又，

则，取，得

，

直线PC与平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）设为平面PBE的一个法向量，

又

则，取，得，

，

二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.