Question

【题目】为参与某次救援，潜水员需潜至水下30米处进行作业.在下潜与返回水面的过程中保持匀速，速度均为米/分钟（，为常数），下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，当速度为1米/分钟时，每分钟耗氧量为0.2升；在水下30米作业时，每分钟耗氧量为0.4升：返回水面的过程中每分钟耗氧量为0.2升假定氧气瓶中氧气为20升，潜水员下潜时开始使用氧气瓶中的氧气，返回到水面时氧气瓶中氧气恰好用尽.

（1）试求潜水员在水下30米作业的时间（单位：分钟）与速度的函数解析式；

（2）试求潜水员在水下30米能作业的最长时间.

Answer 1

【答案】（1）；（2）分类讨论，详见解析.

【解析】

（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为，上升和下潜的时间为，即可求出，整理即可，

（2）根据（1）的函数解析式，需要分类讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可求出.

解：（1）下潜过程中每分钟耗氧量与速度的平方成正比，则下潜每分钟耗氧量为，上升和下潜的时间为，则，

整理可得，（为常数）

（2）由（1）可知，当时，，当且仅当时取等号，

当时，易知函数在上为减函数，

∴，

故当潜水员在水下30米能作业的最长时间为20分钟，

当时，潜水员在水下30米能作业的最长时间为分钟